二次函數最大最小值自學神器
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二次函數最大／最小值求解器使用指南
🎯 學習目標
透過本網站，你將學會：
如何找出二次函數的最大值或最小值
三種常用的解法：頂點式、配方法、頂點公式
判斷拋物線開口與極值類型
應用在真實情境中的問題解決
🖥️ 功能導覽
🔹 📚 理論區（Theory）
在理論區中，你將學到以下內容：
✅ 頂點式（Vertex Form）
函數形式：f(x) = a(x - h)² + k
頂點即為極值點 (h, k)
若 a > 0：開口向上 → 最小值
若 a < 0：開口向下 → 最大值
📌 極值 = k，發生在 x = h
✅ 配方法（Completing the Square）
將標準式轉換為頂點式
標準式：f(x) = ax² + bx + c
配方法步驟：
提取 a：a(x² + (b/a)x)
加減 (b/2a)² 完成平方
化簡得頂點式
📌 結果頂點為： (-b/2a, (4ac - b²)/4a)
✅ 頂點公式（Vertex Formula）
給定：f(x) = ax² + bx + c
頂點 x 值：x = -b / (2a)
帶入 f(x) 求 y 值
或使用 y 值公式：y = c - b²/(4a)
✅ 判斷規則（最大／最小）
條件 | 極值類型 | 拋物線方向 |
a > 0 | 最小值 | 向上（∪） |
a < 0 | 最大值 | 向下（∩） |
定義域（Domain）：實數集 ℝ
值域（Range）：
a > 0 ⇒ [k, ∞)
a < 0 ⇒ (−∞, k]
✅ 應用實例（Example）
題目：找出 f(x) = 2x² - 8x + 5 的最小值
解法（使用頂點公式）：
a = 2，b = -8，c = 5
x = -(-8)/(2×2) = 2
f(2) = 2(2²) - 8(2) + 5 = -3
📌 最小值為 -3，發生於 x = 2
✅ 真實應用（Applications）
常見應用場景包括：
物理：拋物線飛行中的最高點
經濟學：最大利潤、最小成本
工程：最佳設計尺寸
農業：資源最佳配置下最大產量
🔹 🧮 計算器區（Calculator）
三種輸入形式：
標準式：ax² + bx + c
頂點式：a(x - h)² + k
因式分解式：a(x - r₁)(x - r₂)
操作步驟：
選擇輸入形式
輸入對應係數
點選：
🎯 Find Max/Min：找出極值
📝 顯示步驟
📈 繪製圖形
🗑️ 清除欄位
🔹 🎯 逐步解題（Step-by-Step）
功能：
點選「🎲 產生新題目」
點選「🎯 開始逐步解題」
系統會一步步引導你解出最大／最小值
包含選擇題與即時回饋
🔹 💪 練習區（Practice）
練習題特色：
多題選擇題，涵蓋標準式、頂點式、應用題
點選答案即顯示正確與否
點選「💡 顯示解答」查看完整解法
💡 學習建議
從 📚 理論 開始建立概念
使用 🧮 計算器 多次嘗試不同函數
跟隨 🎯 逐步解題 加深理解
多做 💪 練習題 增強熟練度
🆘 如需幫助
點選右下角 ❓ 按鈕可查看提示：
📚 從理論開始
🧮 用計算器求解
🎯 逐步解題輔導
💪 練習實戰題目