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二次轉換方程自學神器
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二次轉換方程求解器使用指南
🎯 學習目標
透過本網站,你將:
學會如何將分式、指數、對數與三角方程式轉換為二次形式
理解代入法(u-substitution)在解方程中的應用
練習轉換與求解技巧
應用步驟解題與練習題驗證理解
🖥️ 功能導覽
🔹 📚 理論區(Theory)
✅ 概論(Overview)
有些複雜方程式,其實可轉換為二次型式
通過適當代入變數 u,可將方程簡化為:
au² + bu + c = 0
解出 u 後,再回代求出原變數
✅ 分式方程(Fractional Equations)
通分或代入 u = 1/x、u = 1/(x + a) 等
例子: 1/x + x = 5 → 令 u = x,可化為 x² + 1 = 5x → 二次式
✅ 指數方程(Exponential Equations)
若形式為:
a^(2x) + b·a^x + c = 0
可設 u = a^x,轉為二次式解
例子:
3^(2x) - 10·3^x + 9 = 0 → u = 3^x → u² - 10u + 9 = 0
✅ 對數方程(Logarithmic Equations)
形式如: (logₐ(x))² + b·logₐ(x) + c = 0 可設 u = logₐ(x),解出 u 再反推 x
✅ 三角方程(Trigonometric Equations)
若形式為:
sin²x + b·sinx + c = 0
可設 u = sinx,解出 u,再求 x
需使用 ASTC 象限規則判斷所有解
✅ 代入技巧(Substitution Techniques)
關鍵:找出重複的子結構(如 sin²x、(2^x)²)
設 u = 某部分,使整體變為二次型式
解完後記得回代與驗算
✅ 解題範例
📝 題目:
2^x + 2^(-x) = 5
🔍 解法:
乘整式消分母:2^x + 1/2^x = 5
設 u = 2^x,得:u + 1/u = 5
乘以 u:u² + 1 = 5u → u² - 5u + 1 = 0