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聯立方程式求解器使用指南

🎯 學習目標

使用本工具，你將能夠：

• 理解什麼是線性-二次聯立方程式

• 學會代入法與代數解法

• 解釋圖形表示與交點意義

• 使用計算器求解並畫出圖形

• 練習真實題目並檢驗理解

🖥️ 功能導覽

🔹 📚 理論區（Theory）

✅ 什麼是線性-二次聯立方程式？

• 同時包含：

  • 一個線性方程式：例如 x + 2y = 5

  • 一個二次方程式：例如 x² + y² - 4x - 2y + 1 = 0

• 解是使兩個方程式都成立的 (x, y) 點

✅ 代入法（Substitution Method）

• 步驟：

  1. 從線性方程式解出某個變數（如 y）

  2. 將 y 代入到二次方程式

  3. 解一元二次方程式找出 x

  4. 回代求出對應的 y

✅ 代數解法（Algebraic Method）

• 進一步展開代入後的代數運算

• 使用配方法或求根公式解一元二次式

• 得到一或兩組 (x, y) 解

✅ 圖形解釋（Graphical Interpretation）

• 線性方程式為一條直線

• 二次方程式為一個拋物線或圓或橢圓

• 解答為它們的交點數：

  • 兩個交點 ⇒ 兩組解

  • 一個交點 ⇒ 一組解（相切）

  • 無交點 ⇒ 無實數解

✅ 解的個數（Number of Solutions）

• 根據判別式 Δ = b² - 4ac 可推斷解的數量

• 解可能為：

  • 2 組實數解

  • 1 組實數解（重根）

  • 無解（兩圖形不相交）

✅ 解題範例

📝 題目：

• 線性：x + 2y = 5

• 二次：x² + y² - 4x - 2y + 1 = 0

🔍 解法大綱：

1. 解出 y = (5 - x)/2

2. 代入二次式並展開

3. 化簡成一元二次式解出 x

4. 回代求出對應的 y

5. 得到 2 組解或 1 組或無解

🔹 🧮 計算器（Calculator）

操作方式：

1. 輸入線性方程式係數：

   • ax + by = c

2. 輸入二次方程式係數：

   • dx² + ey² + fx + gy + h = 0

3. 點選：

   • 🔍 Solve：求解

   • 📝 Show Steps：顯示步驟

   • 📈 Graph：繪圖顯示交點

   • 🗑️ Clear：清除欄位

📌 解答會顯示：

• 所有解 (x, y)

• 解法步驟說明

• 圖形上交點位置（若有）

🔹 🎯 逐步解題區（Step-by-Step）

功能特色：

• 點選「🎲 產生新題目」

• 點選「🎯 開始逐步解題」

• 系統引導步驟如下：

  1. 代入與整理

  2. 解一元二次式

  3. 回代求另一變數

  4. 檢查與整理答案

✅ 每步驟搭配選擇題與回饋提示

🔹 💪 練習題區（Practice）

練習題包含：

• 常見的線性與二次聯立題型

• 包含兩解、一解與無解的情況

• 每題可點選選項並立即查看對錯

• 點選「💡 顯示解答」可查看完整步驟

💡 學習建議

• 先理解 📚 理論區 的基本方法與圖形概念

• 使用 🧮 計算器 實際操作代入與解法

• 練習 🎯 逐步方式 建立解題信心

• 多做 💪 練習題 鞏固技巧與應用力

🆘 幫助提示（點選右下角 ❓）

• 📚 從理論區開始

• 🧮 使用計算器快速求解

• 🎯 學會逐步分析與代數運算

• 💪 多做練習，提高準確率